|
|
 |
Условие
Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.
Решение
Пусть 2an – cторона n-го квадрата Kn. Из условия следует, что an+2 = an+1 + an. Пусть n ≡ 1 (mod 4). Тогда Kn+1 приставлен к Kn справа, а Kn+2 приставлен к Kn+1 сверху. Значит, расстояние между центрами квадратов Kn+2 и Kn по горизонтали равно an+2 – an = an+1, а по вертикали an+2 + (2an+1 – an) = 3an+1. Таким образом вектор, соединяющий центры Kn+2 и Kn, параллелен вектору (1, 3). То же верно и для n ≡ 3 (mod 4). Отсюда следует, что центры все квадратов с нечётными номерами лежат на прямой с угловым коэффициентом 3, проходящей через центр первого квадрата.
Аналогично доказывается, что центры всех квадратов с чётными номерами лежат на прямой с угловым коэффициентом – 1/3, проходящей через центр второго квадрата.
Замечания
4 балла
