Задача 98231
|
|
 |
Условие
В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.
Решение
Пусть всего ящиков N, а не пусты только первые n ящиков. Тогда среднее количество орехов в непустых ящиках равно 10·N/n.
Следовательно, согласно неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным (см. задачу 61402 б) средняя величина квадратов чисел орехов в непустых ящиках не меньше (10·N/n)², а средняя величина квадратов чисел орехов во всех ящиках не меньше n/N·100·(N/n)² = 100·N/n. По условию это число меньше 1000, значит, N/n < 10, что и требовалось.
Замечания
3 балла
