Задача 98240
|
|
 |
Условие
Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что
a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0.
Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.
Решение
0 = a³ + b³ + c³ + d³ = (a + b)((a² – ab + b²) – (c² – cd + d²)) = (a + b)((a + b)² – (c + d)² + 3cd – 3ab) = 3(a + b)(cd – ab). Значит, либо a + b = 0, либо cd = ab. В первом случае все доказано, во втором a + b = (– c) + (– d) и ab = (– c)(– d). Но тогда по теореме Виета пара {a, b} совпадает с парой {– c, – d}.
Замечания
4 балла
