Задача 98318

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Существуют ли три таких различных простых числа p, q, r, что  p² + d  делится на qr,  q² + d  делится на rp,  r² + d  делится на pq, если
  а)  d = 10,
  б)  d =11?

Решение

а) Докажем от противного, что таких чисел нет. Предположим, что они существуют. Можно считать, что  p < q < r.  Нечётное число  q² + 10  должно делиться на pr, следовательно, p нечётно (то есть не равно 2). Значит,  q ≥ p + 2,  r ≥ p + 4  и  qr ≥ (p + 2)(p + 4) = p² + 6p + 8 > p² + 10.  Поэтому  p² + 10  не делится на qr.

б) Например, 2, 3, 5.

Ответ

а) Не существуют.  б) Существуют.

Замечания

баллы: 2 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2