|
|
 |
Условие
Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер a, b, c этого куба.
Решение
Расположим систему координат так, чтобы вершины куба ABCDA'B'C'D'
имели координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), D(0, 1, 0), A'(0, 0, 1).
Расстояние от точки M(x, y, z) до ребра a = BB' равно расстоянию от её проекции M'(x, y) на плоскость xOy до точки B(1, 0), то есть равно . Аналогично квадраты расстояний от M до рёбер b = CD и c = A'D' равны, соответственно, (1 – y)² + z², (1 – z)² + x². При x = y = z точка M, очевидно, равноудалена от a, b, c. Докажем, что больше таких точек нет. Пусть не все координаты точки M равны между собой, и x – наименьшая из них, а z – наибольшая (остальные случаи разбираются точно так же). Тогда x < z, 1 – z ≤ 1 – y ⇔ (1 – z)² + x² < (1 – y)² + z², и M не равноудалена от рёбер b и c. Итак, искомое ГМТ – множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению x = y = z. Это диагональ AC' куба.
Ответ
Большая диагональ куба, не имеющая общих точек с рёбрами a, b, c.
Замечания
1. Рёбра BB', CD и A'D переходят друг в друга при повороте куба вокруг диагонали AC' на 120°. Отсюда сразу видно, что все точки диагонали AC' равноудалены от этих рёбер. К сожалению, эта красивая идея не даёт возможности доказать, что искомое геометрическое место не содержит точек вне этой диагонали.
2. 3 балла.
