Задача 98325

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Построения (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Егоров А.А.

На координатной плоскости xOy построена парабола  y = x².  Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

Решение

  Докажем следующую лемму.

  Лемма. Пусть M и N – середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы (рис. 1).

  Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых  y = kx + a  и  y = kx + b,  тогда абсциссы точек  A, B, C, D  – это корни уравнений  x² = kx + a  и  x² = kx + b,  а абсциссы точек M и N – полусуммы корней этих уравнений, то есть по теореме Виета равны ^k/₂.  Следовательно, прямая MN параллельна оси Oy.

  Вернёмся к решению задачи. Проводим последовательно две параллельные хорды параболы; прямую, проходящую через их середины (параллельную Oy); перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках; серединный перпендикуляр к полученной хорде. Этот перпендикуляр и будет осью Oy, а ось Ox – это перпендикуляр к Oy в точке пересечения с параболой.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3