|
|
 |
Условие
а) Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки доски 3×3? (Чтобы клетка была разрезана, прямая должна проходить через внутреннюю точку этой клетки.)
б) Та же задача для доски 4×4.
Решение
а) Одна прямая, очевидно, не может разрезать даже четыре клетки квадрата 2×2. Пример для двух прямых см. на рисунке.
б) Разобьём квадрат 4×4 на четыре квадрата 2×2. Из сказанного выше видно, что первая прямая в один из этих квадратов не "заходит". Поэтому нужно ещё, как минимум, две прямые, чтобы разрезать четыре клетки этого квадрата. Пример для трёх прямых изображён на рисунке.
Ответ
а) Двумя, б) тремя прямыми.
Замечания
1. Для оценки необходимого числа прямых можно воспользоваться также следующим общим соображением для прямоугольника m×n. Переходя из одной клетки в другую, прямая пересекает одну из линий сетки. Так как линий сетки всего m + n – 2 (m – 1 горизонтальная и n – 1 вертикальная), а прямая каждую из них может пересечь только один раз, то она не может пройти больше чем через m + n – 1 клетку.
В частности, в квадрате 3×3 одна прямая разрежет не более пяти клеток, а в квадрате 4×4 – не более семи клеток (и поэтому двух прямых там не хватит).
2. Баллы: 8-9 кл. – 2 + 4, 10-11 кл. – 2 + 3.
