|
|
 |
Условие
Квадрат разбит прямыми на 25 квадратиков-клеток. В некоторых клетках нарисована одна из диагоналей так, что никакие две диагонали не имеют общей точки (даже общего конца). Каково наибольшее возможное число нарисованных диагоналей?
Решение
Пример с 16 диагоналями см. на рисунке.
Первый способ. Каждая диагональ имеет два конца, расположенных в узлах квадратной сетки. Всего таких узлов в квадрате 36. 12 из них расположены на границе внутреннего квадрата 3×3 (рис. слева), поэтому диагоналей с концами в этих узлах проведено не больше 12. Оставшиеся пять диагоналей могут располагаться только в центральной и четырёх угловых клетках. Значит, четыре узла, расположенные в вершинах квадрата, не являются концами проведённых диагоналей, то есть 17 диагоналей имеют не более 36 – 4 = 32 концов. Противоречие.
Второй способ. В каждом прямоугольнике 5×2 проведено не больше 6 диагоналей: на его средней линии всего шесть узлов, а каждая диагональ имеет один из них своим концом. Значит, во всех горизонталях квадрата, кроме средней, проведено в сумме не более 12 диагоналей. Поэтому в средней горизонтали их не меньше, чем 17 – 12 = 5, то есть в каждой её клетке проведена диагональ.
Аналогично доказывается, что диагонали проведены во всех клетках средней вертикали. Но диагонали, проведённые в соседних (имеющих общую сторону) клетках, параллельны. Значит, весь "центральный крест" заполнен параллельными диагоналями. Но тогда диагонали в двух соседних с центром клетках имеют общую точку (см. рис. справа). Противоречие.
Ответ
16 диагоналей.
Замечания
7 баллов
