Задача 98397

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

Внутренняя точка M выпуклого четырёхугольника ABCD такова, что треугольники AMB и CMD – равнобедренные с углом величиной 120° при вершине M.
Докажите существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA – правильные.

Решение

  Будем для определенности считать, что обход вдоль границы четырёхугольника ABCD от A к B, C и затем к D совершается против часовой стрелки. Тогда при повороте на 120° в этом же направлении вокруг точки M точка A переходит в B, а точка C – в D. Значит, треугольник AMC переходит в треугольник BMD. Поэтому  AC = BD,  и угол между прямыми AC и BD составляет 120° (или, что то же самое, 60°).

  Рассмотрим правильный треугольник BNC, расположенный по ту же сторону от прямой BC, что и четырёхугольник ABCD. При повороте на 60° против часовой стрелки вокруг точки N точка B переходит в C. Значит, прямая BD перейдёт в прямую CA. Ввиду равенства отрезков CA и DB точка D перейдёт в A. Таким образом,  NA = ND  и  ∠DNA = 60°,  то есть треугольник DNA также правильный.

Замечания

1. 5 баллов.

2. Ср. с задачей 108187.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1998
выпуск
Номер	3
Задача
Номер	М1640
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1997/1998
Номер	19
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4