Задача 98473

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите неравенство     при любых натуральных n и k.

Решение

  После умножения обеих частей неравенства на знаменатель правой части и приведения подобных членов получим:
(1^k + 2^k + … + (n – 1)^k)n^k ≤ (2^k + 3^k + ... + n^k)(n – 1)^k.
  Таким образом, достаточно убедиться в справедливости неравенства  (m – 1)^kn^k ≤ m^k(n – 1)^k  при  m = 2, 3, ... , n.  Это просто:
(m – 1)^kn^k ≤ m^k(n – 1)^k  ⇔  (m – 1)n ≤ m(n – 1)  ⇔  m ≤ n.

Замечания

1. Исходное неравенство нетрудно доказать и по индукции.

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1999/2000
Номер	21
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3