|
|
 |
Условие
В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего.
а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.
Решение
а) Будем считать, что все клетки таблицы – единичные квадраты. Тогда площадь S всех клеток под диагональю равна числу партий в турнире и общему числу набранных очков. Закрасим в красный цвет клетки, содержащие единицы для неправильных партий. Заметим, что все красные клетки стоят под главной диагональю. Проведём горизонтальную среднюю линию таблицы (при нечётном числе участников клетки средней строки разделятся пополам; очки из этих клеток тоже разделим поровну между полуклетками). Ясно, что сумма очков в верхней половине не меньше, чем в нижней.
Часть таблицы выше средней линии, но под диагональю назовём осьмушкой, её площадь меньше S/4 (так как таблица без клеток двух главных диагоналей легко режется на 8 осьмушек).
Площадь красной области в верхней половине таблицы не больше площади осьмушки, то есть меньше S/4. Площадь красной области в нижней половине таблицы не больше суммы очков из нижней половины, то есть не больше S/2. Поэтому площадь (а значит, и количество) красных клеток во всей таблице меньше 3S/4.
б) Рассмотрим турнир, в котором участвуют 2m² шахматистов. Разобьём их на m групп по 2m человек в каждой и членов каждой группы занумеруем числами от 1 до 2m. Пусть внутри групп всегда побеждал шахматист с меньшим номером.
Теперь зададим результаты партий между участниками из разных групп. Пусть партии между игроками с одинаковыми номерами, а также с номерами, отличающимися на m, закончились вничью; при разности номеров больше m выиграл участник с меньшим номером, а при разности меньше m выиграл участник с большим номером. Легко видеть, что каждый участник против игроков любой "чужой" группы набрал ровно m очков, так что расположение участников в итоговой таблице определяется результатами игр внутри групп, то есть их номерами (чем меньше номер, тем выше место).
Оценим количество правильных партий. Во-первых, это все партии внутри групп, их общее число составляет менее 1/m от общего числа партий турнира. Во-вторых, это партии, закончившиеся вничью: у каждого игрока (а значит, и во всем турнире) они составляют менее 1/m от общего числа партий. В-третьих, это правильные результативные (не ничейные) партии, сыгранные между шахматистами разных групп.
Рассмотрим количество результативных правильных партий между шахматистами каких-то двух групп А и В. Участник с номером k ≤ m выиграл m – k правильных партий (у шахматистов с номерами m + k + 1, ..., 2m). Участники с номерами, большими m, не выиграли ни одной правильной партии. Итого 2((m – 1) + (m – 2) + ... + 1)) = m(m – 1) правильных партий, что составляет ровно ¼ от общего числа 2m(2m – 2) результативных партий между шахматистами этих групп. Поэтому общее количество "межгрупповых" результативных правильных партий составляет менее четверти общего числа партий в турнире.
Итак, общее число правильных партий составляет менее ¼ + 1/m + 1/m от общего числа всех партий турнира (но более ¼ согласно п. а). Чем большее число m мы будем выбирать, тем ближе доля правильных партий будет к ¼.
Ответ
а) Не могут; б) могут.
Замечания
Баллы: 6 + 6.
