|
|
 |
Условие
n красных и n синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2n дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: a, b или c. Докажите, что n-угольник с красными вершинами и n-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.
Решение
Пусть среди дуг, на которые разделена окружность имеется k дуг длины a, l дуг длины b и m дуг длины c. Дуги, на которые разбивают окружность красные точки, могут иметь длины a + b, a + c и b + c. Обозначим их количества через x, y и z. Тогда, очевидно, выполняются равенства x + y = k, x + z = l,
y + z = m. Решив эту систему, получим выражения для x, y и z через k, l и m. Те же самые значения мы получим и для многоугольника с вершинами в синих точках. Поскольку равные дуги стягиваются равными хордами, наборы длин сторон "красного" и "синего" многоугольников равны (различие может быть лишь в порядке их следования). Значит, периметры многоугольников равны. Кроме того, многоугольники можно дополнить одинаковыми наборами сегментов до круга. Значит, их площади также равны.
Замечания
5 баллов
