Задача 98558
|
|
 |
Условие
Для натуральных чисел x и y число x² + xy + y² в десятичной записи оканчивается нулем. Докажите, что оно оканчивается хотя бы двумя нулями.
Решение
x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²) делится на 10. Поэтому у чисел x³ и y³ одинаковые последние цифры. Значит, и у чисел x и y последние цифры одинаковы (нетрудно проверить, что последние цифры чисел 0³, 1³, ..., 9³ различны). Следовательно, одинаковы последние цифры чисел x², xy и y², то есть последняя цифра числа x² + xy + y² (равная 0) такая же, как у 3x². Поэтому x (а вместе с ним и y) делится на 10. Значит, x² + xy + y² делится на 100.
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4.
