Задача 98622

Темы:    [ Куб ] [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Можно ли поверхность куба оклеить без пропусков и наложений тремя треугольниками?

Решение

Сумма плоских углов, сходящихся в одной вершине куба, равна 270°. Поэтому вершина не может быть внутренней точкой треугольника (сумма углов, сходящихся в такой точке, равна 360°). Если какой-то треугольник примыкает к этой вершине своей стороной, то он закрывает 180° из 270°. Поэтому такой треугольник может быть только один, и по крайней мере 90° в этой вершине должны быть покрыты углами треугольников. Однако сумма углов в трёх треугольниках составляет только 6·90°, а этого не хватит на оклейку по 90° в восьми вершинах куба.

Ответ

Нельзя.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3