Задача 1

Доказать, что уравнение  x² + 1990 = y²  не имеет решений в целых числах.

Задача 2

Может ли горящая в комнате свеча не освещать полностью ни одну из её стен, если в комнате а) 10 стен, б) 6 стен?

Задача 3

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

Задача 4

Можно ли разместить в пространстве четыре свинцовых шара и точечный источник света так, чтобы каждый исходящий из источника света луч пересекал хотя бы один из шаров?

Задача 5

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.