Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n взята точка O так, что +...+ = . Пусть d = OA₁ +...+ OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n² - 1) при n нечетном.

Прислать комментарий

Решение

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна .

Прислать комментарий

Решение

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]