Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]

Задача 64984 (#10.3)

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Перпендикулярные прямые в пространстве	]
	[	Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Дано два тетраэдра A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Рассмотрим шесть пар рёбер A_iA_j и B_kB_l, где (i, j, k, l) – перестановка чисел (1, 2, 3, 4) (например, A₁A₂ и B₃B₄). Известно, что во всех парах, кроме одной, рёбра перпендикулярны. Докажите, что в оставшейся паре рёбра тоже перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65029 (#3)

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

В треугольнике ABC ∠A = 60°. Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C₁. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B₁. Докажите, что прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64969 (#8.4)

Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64977 (#9.4)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64985 (#10.4)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Паскаля	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Мокин В.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]