Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 116033 (#1)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Стунжас Л.

Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит s дублонов, а дублон – ¹/_s пистолей, где s не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдаст в обмен монеты другого вида, округляя результат до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, выбирается большее).

а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было вначале?

б) Если да, то может ли случиться, что полученное число дублонов ещё увеличится, если проделать с ними такую же операцию?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116034 (#2)

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
а) четырёхугольник ABCD – описанный;
б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116035 (#3)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Полицейский участок расположен на прямой дороге, бесконечной в обе стороны. Некто угнал старую полицейскую машину, максимальная скорость которой составляет 90% от максимальной скорости новой машины. В некоторый момент в участке спохватились и послали вдогонку полицейского на новой полицейской машине. Однако вот беда: полицейский не знал, ни когда машина была угнана, ни в каком направлении вдоль дороги уехал угонщик. Сможет ли полицейский поймать угонщика?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116036 (#4)

Темы:	[	Шахматная раскраска	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток n – 1 горизонтальными и n – 1 вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116037 (#5)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

55 боксёров участвовали в турнире по системе "проигравший выбывает". Бои шли последовательно. Известно, что у участников каждого боя число предыдущих побед отличалось не более чем на 1. Какое наибольшее число боёв мог провести победитель турнира?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]