Версия для печати
Убрать все задачи

---

В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

   Решение

---

На плоскости даны 10 точек: несколько из них – белые, а остальные – чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовём точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. Докажите, что через несколько ходов не останется ни одной особой точки.

   Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 810]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35033

Темы:   [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Найти все действительные решения уравнения с 4 неизвестными:   x² + y² + z² + t² = x(y + z + t).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35037

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Раскладки и разбиения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В обращении есть монеты достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и 1 рубль. Известно, что k монетами можно набрать m копеек.
Докажите, что m монетами можно набрать k рублей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35038

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Даны два бикфордова шнура, каждый из которых горит ровно минуту, если его поджечь с одного конца (но сгорать может неравномерно).
Как с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд? (Поджигать шнур можно с любого из двух концов.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35049

Тема:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Игровое поле представляет собой горизонтальную полоску размером 1×100 клеток. В самой левой клетке стоит фишка. Двое по очереди двигают фишку вправо, причём за один ход разрешается сдвинуть фишку вправо на расстояние от 1 до 10 клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (то есть перед его ходом фишка находится в самой правой клетке). Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35056

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На плоскости даны 10 точек: несколько из них – белые, а остальные – чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовём точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. Докажите, что через несколько ходов не останется ни одной особой точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 810]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями