ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит  30o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит  30o.

   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



Задача 56967

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что  $ \angle$ABP = $ \angle$CAP = $ \angle$BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники  CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

Прислать комментарий     Решение


Задача 56968

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Через точку Брокара P треугольника ABC проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в точках A1, B1 и C1. Докажите, что  $ \triangle$ABC = $ \triangle$B1C1A1.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 56969

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  $ \varphi$ = $ \angle$ABP = $ \angle$BCP = $ \angle$CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg$ \varphi$ = ctg$ \alpha$ + ctg$ \beta$ + ctg$ \gamma$.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A1AC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56970

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит  30o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит  30o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56971

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 6
Классы: 9

Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABCO — центр его описанной окружности, A1, B1 и C1 — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что  $ \triangle$A1B1C1 $ \sim$ $ \triangle$ABC и O — первая точка Брокара треугольника A1B1C1.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .