Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 82]

Задача 57597 (#12.016)

Тема:

[

Теорема косинусов

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Пусть O — центр описанной окружности (неправильного) треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. Докажите, что прямая OM перпендикулярна медиане CC₁ тогда и только тогда, когда a² + b² = 2c².

Прислать комментарий Решение

Задача 57598 (#12.016B)

Тема:

[

Теорема косинусов

]

Сложность: 6
Классы: 9

Окружности радиусов t_a, t_b, t_c касаются внутренним образом описанной окружности треугольника ABC в его вершинах A, B, C и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что

t_a = $\displaystyle {\frac{Rh_a}{a+h_a}}$ , t_b = $\displaystyle {\frac{Rh_b}{b+h_b}}$ , t_c = $\displaystyle {\frac{Rh_c}{c+h_c}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57599 (#12.017)

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что:
а) a = r(ctg( $\beta$ /2) + ctg( $\gamma$ /2)) = r cos( $\alpha$ /2)/(sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2));
б) a = r_a(tg( $\beta$ /2) + tg( $\gamma$ /2)) = r_acos( $\alpha$ /2)/(cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2));
в) p - b = rctg( $\beta$ /2) = r_atg( $\gamma$ /2);
г) p = r_actg( $\alpha$ /2).

Прислать комментарий Решение

Задача 57600 (#12.018)

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что:
а) rp = r_a(p - a), rr_a = (p - b)(p - c) и r_br_c = p(p - a);
б) S² = p(p - a)(p - b)(p - c) (формула Герона);
в) S² = rr_ar_br_c.

Прислать комментарий Решение

Задача 57601 (#12.019)

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что S = r_c²tg( $\alpha$ /2)tg( $\beta$ /2)ctg( $\gamma$ /2).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 82]