Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 60447 (#02.113)

Темы:	[	Числа Каталана	]
Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Сколько последовательностей {a₁, a₂, ..., a_2n}, состоящих из единиц и минус единиц, обладают тем свойством, что a₁ + a₂ + ... + a_2n = 0, а все частичные суммы a₁, a₁ + a₂, ..., a₁ + a₂ + ... + a_2n неотрицательны?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60448 (#02.114)

Темы:	[	Числа Каталана	]
Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Сколько существует способов разрезать выпуклый (n+2)-угольник диагоналями на треугольники?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60449 (#02.115)

[Маршруты ладьи]

Темы:	[	Числа Каталана	]
Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим шахматную доску n×n. Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60450 (#02.116)

[Очередь в кассу]

Темы:	[	Числа Каталана	]
Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Билеты стоят 50 центов, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина из них имеет по одному доллару, остальные – по 50 центов. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60451 (#02.117)

[Формула для чисел Каталана]

Темы:	[	Числа Каталана	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Комбинаторика орбит	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

а) Пусть {a₁, a₂,..., a_n} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n}, {a₂, ..., a_n, a₁}, ..., {a_n, a₁, ..., a_n–1} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

б) Выведите отсюда равенства: где (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2) – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]