ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 9. Уравнения и системы
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {an} равенствами

a0 = a,        an + 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$an + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$    (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

$\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right)^{2^n}_{}$.


   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

Задача 61297  (#09.046)

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Вавилонский алгоритм вычисления $ \sqrt{2}$. Последовательность чисел {xn} задана условиями:

x1 = 1,        xn + 1 = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$xn + $\displaystyle {\frac{2}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$        (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$xn = $ \sqrt{2}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61298  (#09.047)

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи 9.46, если в качестве начального условия выбрать x1 = - 1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61299  (#09.048)

Темы:   [ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Итерационная формула Герона. Докажите, что последовательность чисел {xn}, заданная условиями

x1 = 1,        xn + 1 = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right.$xn + $\displaystyle {\frac{k}{x_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{k}{x_n}}\right)$,

сходится. Найдите предел этой последовательности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61300  (#09.049)

Тема:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {an} равенствами

a0 = a,        an + 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$an + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$    (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

$\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right)^{2^n}_{}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61301  (#09.050)

Тема:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Зафиксируем числа a0 и a1. Построим последовательность {an} в которой

an + 1 = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Выразите an через a0, a1 и n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 100]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .