Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 100]

Задача 61498 (#11.71-72)

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
а) (1 + x + ... + x⁹)³(1 + x^–1 + ... + x^–9)³ = x²⁷ + ... + a₁x + N + a₁x + ... + x^–27;
б) (1 + x + ... + x⁹)⁶ = 1 + ... + Nx²⁷ + ... + x⁵⁴.
в) Найдите число счастливых билетов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61500 (#11.073)

Тема:

[

Формальные степенные ряды

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Назовем экспонентой следующий степенной ряд: Exp(z)=1+z+z²/2!+...+zⁿ/n!+...
Докажите следующие свойства экспоненты:
а) Exp $\nolimits{^\prime}$ (z) = Exp $\nolimits$ (z); б) Exp $\nolimits$ (( $\alpha$ + $\beta$ )z) = Exp $\nolimits$ ( $\alpha$ z)^.Exp $\nolimits$ ( $\beta$ z).

Прислать комментарий Решение

Задача 61501 (#11.074)

Темы:	[	Формальные степенные ряды	]
Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Функции a, b и c заданы рядами

Докажите, что a³ + b³ + c³ – 3abc = (1 + x³)ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61502 (#11.075)

Темы:	[	Производящие функции	]
	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Рациональные функции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде где = , = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61503 (#11.076)

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что бесконечная сумма

	0, 1
+	0, 01
+	0, 002
+	0, 0003
+	0, 00005
+	0, 000008
+	0, 0000013
	...

сходится к рациональному числу.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 100]