Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 67095

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фадин М.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_1$ с центром $O$. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67096

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, точка $T$ такова, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $T$, повторно пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что точки $K$ и $L$ равноудалены от прямой $AT$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67104

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Дидин М.

Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $K$ – точка пересечения $BC$ с внешней биссектрисой угла $A$. Прямая $KI$ пересекает внешние биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $\angle BAX=\angle CAY$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67106

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

Прислать комментарий Решение

Задача 67102

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кухарчук И.

В треугольнике $ABC$ выбрана точка $P$. Лучи с началом в точке $P$, пересекающие под прямым углом стороны $BC$, $AC$, $AB$, пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Оказалось, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $Q$. Докажите, что все такие прямые $PQ$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]