Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78072 (#1)

Темы:	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Гомотетичные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 11

В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше $\sqrt{2}$ r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 78073 (#2)

Темы:	[	Приближения чисел	]
Темы:	[	Десятичные дроби (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 11

В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с пятого знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0,0001). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78068 (#3)

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Пусть a, b, c, d, l – целые числа. Докажите, что если дробь сократима на число k, то ad – bc делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78074 (#4)

Темы:	[	Пространственные многоугольники	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Ортогональная проекция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Дана замкнутая пространственная ломаная. Некоторая плоскость пересекает все её звенья: A₁A₂ в точке B₁, A₂A₃ — в точке B₂, ..., A_nA₁ -- в точке B_n. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{A_1B_1}{B_1A_2}}$ $\displaystyle {\frac{A_2B_2}{B_2A_3}}$ ... $\displaystyle {\frac{A_nB_n}{B_nA_1}}$ = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78075 (#5)

Тема:

[

Системы линейных уравнений

]

Сложность: 3+
Классы: 11

Докажите, что система уравнений

x₁ – x₂ = a,
x₃ – x₄ = b,
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1

имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда |a| + |b| < 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]