Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78269 (#1)

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел

a₁...	a_n	...
b₁...	b_n	...
c₁...	c_n	...

найдутся такие номера p и q, что

a_p $\displaystyle \ge$ a_q, b_p $\displaystyle \ge$ b_q, c_p $\displaystyle \ge$ c_q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78270 (#2)

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
Темы:	[	Площади криволинейных фигур	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Прислать комментарий Решение

Задача 78265 (#3)

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78271 (#4)

Темы:	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
Темы:	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Расстояние от фиксированной точки P плоскости до двух вершин A, B равностороннего треугольника ABC равны AP = 2; BP = 3. Определить, какое максимальное значение может иметь отрезок PC.

Прислать комментарий Решение

Задача 78272 (#5)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2^k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2^k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д. Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]