Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 245 246 247 248 249 250 251 [Всего задач: 1255]

Задача 61539 (#12.011)

Темы:	[	Задачи-шутки	]
Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

``1 = - 1''. Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$ $\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1.

После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:

-1 = i² = $\displaystyle \sqrt{-1}$ ^. $\displaystyle \sqrt{-1}$ = $\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)}$ = $\displaystyle \sqrt{1}$ = 1.

Не ошибся ли где-нибудь Коля Васин?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61540 (#12.012)

Темы:	[	Комплексная экспонента	]
Темы:	[	Задачи-шутки	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи 61115, он смог доказать, что sin x всегда равен нулю, а cos x – единице:

Где ошибка в приведённых равенствах?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61541 (#12.013)

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Задачи-шутки	]
	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:

$\begin{picture} (80,80)\multiput(0,0)(0,10){9}{\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(... ...(0,1){80}} \put(0,50){\line(1,0){80}}\qbezier(50,0)(40,25)(30,50) \end{picture}$

$\begin{picture} (150,50)\multiput(0,0)(0,10){6}{\line(1,0){130}} \multiput(0,0... ...0,1){30}}\put(50,20){\line(0,1){30}} \qbezier(0,0)(65,25)(129,50) \end{picture}$

Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61542 (#12.014)

Темы:	[	Системы счисления (прочее)	]
Темы:	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Из километров — в мили. В задаче 3.125 была введена фибоначчиева система счисления. Она оказывается удобной, когда нужно сделать перевод расстояния из километров в мили или наоборот.
Предположим, что мы хотим узнать, сколько миль в 30 километрах. Для этого представляем число 30 в фибоначчиевой системе счисления:

30 = 21 + 8 + 1 = F₈ + F₆ + F₂ = (1010001)_F.

Теперь нужно сдвинуть каждое число на одну позицию вправо, получая

F₇ + F₅ + F₁ = 13 + 5 + 1 = 19 = (101001)_F.

Поэтому предполагаемый результат — 19 миль. (Правильный ответ — около 18.46 миль.) Аналогично делается перевод из миль в километры.
Объясните, почему работает такой алгоритм. Проверьте, что он дает округленное число миль в n километрах при всех n $\leqslant$ 100, отличающееся от правильного ответа меньше чем на 2/3 мили.

Прислать комментарий

Решение