Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 1255]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60545  (#03.093)

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Пусть  (m, n) > 1.  Что больше  τ(mn)  или  τ(m)τ(n)?  Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60546  (#03.094)  [Совершенные числа]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Число n называется совершенным, если  σ(n) = 2n.
Докажите, что если  2^k – 1 = p  – некоторое простое число Мерсенна, то  n = 2^k–1(2^k – 1)  – совершенное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60547  (#03.095)  [Теорема Эйлера]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид  n = 2^k–1(2^k – 1),  и  p = 2^k – 1  – простое число Мерсенна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60548  (#03.096)  [Дружественные числа]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

  Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если  σ(m) – m = n  и  σ(n) – n = m.
  Докажите, что если все три числа  p = 3·2^k–1 – 1,  q = 3·2^k – 1  и  r = 9·2^2k–1 – 1  – простые, то числа  m = 2^kpq  и  n = 2^kr  – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60549  (#03.097)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Ряды (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 11

Может ли быть так, что   а)  σ(n) > 3n;   б)  σ(n) > 100n?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 1255]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями