Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 22]      

Даны четыре окружности  S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что радикальная ось окружностей S₁ и S₃ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к S₂ и S₄.

Решение

Пусть A_i — точка касания окружностей S_i и S_{i + 1}, X — точка пересечения прямых A₁A₄ и A₂A₃. Тогда X — точка пересечения общих внешних касательных к окружностям S₂ и S₄ (см. задачу 5.60). А так как четырехугольник  A₁A₂A₃A₄ вписанный (задача 3.22), то  XA₁ ^. XA₄ = XA₂ ^. XA₃, а значит, точка X лежит на радикальной оси окружностей S₁ и S₃.

Прислать комментарий

а) Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Степень точки P окружности S₁ относительно окружности S₂ равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, что | p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны p_a и p_b. Докажите, что  | p_a| S_BCD = | p_b| S_ACD.

Решение

а) Рассмотрим систему координат с началом O в середине отрезка, соединяющего центры окружностей, а ось Ox направим вдоль этого отрезка. Пусть точка P имеет координаты (x, y); R и r — радиусы окружностей S₁ и S₂; a = d /2. Тогда  (x + a)² + y² = R² и  p = (x - a)² + y² - r² = ((x + a)² + y² - R²) - 4ax - r² + R² = R² - r² - 4ax.
Пусть точка A имеет координаты (x₀, y₀). Тогда  (x₀ + a)² + y₀² - R² = (x₀ - a)² + y₀² - r², т. е.  x₀ = (R² - r²)/4a. Поэтому  2dh = 4a| x₀ - x| = | R² - r² - 4ax| = | p|.
б) Пусть d — расстояние между центрами описанных окружностей треугольников ACD и BCD; h_a и h_b — расстояния от точек A и B до прямой CD. Согласно задаче а)  | p_a| = 2dh_a и  | p_b| = 2dh_b. Учитывая, что  S_BCD = h_bCD/2 и  S_ACD = h_aCD/2, получаем требуемое.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 22]