Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]

Задача 57169

[Теорема Карно]

Темы:	[	Теорема Карно	]
Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4-
Классы: 9

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A₁B² + C₁A² + B₁C² = B₁A² + A₁C² + C₁B² (теорема Карно).

Прислать комментарий

Решение

Задача 115905

Темы:	[	Теорема Карно	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Из точек A₁, B₁ и C₁, лежащих на прямых BC, AC и AB соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым.
Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда C₁A² – C₁B² + A₁B² – A₁C² + B₁C² – B₁A² = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115906

Темы:	[	Теорема Карно	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A₁, B₁ и C₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115908

Темы:	[	Теорема Карно	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A₁, B₁ и C₁ – центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115907

Темы:	[	Теорема Карно	]
Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, AC и AB соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, также пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]