Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 57392

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что при n $\geq$ 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Прислать комментарий Решение

Задача 57393

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

а) Выпуклые многоугольники A₁...A_n и B₁...B_n таковы, что все их соответственные стороны, кроме A₁A_n и B₁B_n, равны и $\angle$ A₂ $\geq$ $\angle$ B₂,..., $\angle$ A_{n - 1} $\geq$ $\angle$ B_{n - 1}, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что A₁A_n > B₁B_n.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников A₁...A_n и B₁...B_n равны. Запишем возле каждой вершины многоугольника A₁...A_n знак разности $\angle$ A_i - $\angle$ B_i. Докажите, что при n $\geq$ 4 соседних вершин с разными знаками будет по крайней мере четыре пары. (Вершины с нулевой разностью выбрасываются из рассмотрения: две вершины, между которыми стоят только вершины с нулевой разностью, считаются соседними.)

Прислать комментарий Решение

Задача 34900

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Многоугольники (неравенства)	]
	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?

Прислать комментарий Решение

Задача 116049

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
Темы:	[	Многоугольники (неравенства)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Имеется многоугольник. Для каждой стороны поделим её длину на сумму длин всех остальных сторон. Затем сложим все получившиеся дроби. Докажите, что полученная сумма меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116625

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Многоугольники (неравенства)	]
	[	Четырехугольник (неравенства)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей АD, ВЕ и CF быть не меньше 2?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]