Каталог по темам

Задачи

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 98]

Задача 34993

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Теория множеств (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2^n–1 различными способами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60320

[Золотая цепочка]

Темы:	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?

б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60439

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Сколько существует целых чисел от 1 до 33000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, но делятся на 11?

Прислать комментарий

Решение

Задача 76449

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7?

Прислать комментарий Решение

Задача 108803

Темы:	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Расстояние между скрещивающимися прямыми	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Найдите расстояние между противоположными ребрами правильного тетраэдра с ребром a .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 98]