Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 172]

Задача 56810

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 6
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через d_a, d_b, d_c, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через R_a, R_b, R_c. Докажите, что:
а) aR_a $\geq$ cd_c + bd_b;
б) d_aR_a + d_bR_b + d_cR_c $\geq$ 2(d_ad_b + d_bd_c + d_cd_a);
в) R_a + R_b + R_c $\geq$ 2(d_a + d_b + d_c) (Эрдёш-Морделл);
г) R_aR_bR_c $\geq$ (R/2r)(d_a + d_b)(d_b + d_c)(d_c + d_a).

Прислать комментарий Решение

Задача 54205

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 2
Классы: 8,9

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.

Прислать комментарий

Решение

Задача 76421

Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен ${\frac{1}{3}}$ одной из высот.

Прислать комментарий Решение

Задача 98314

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Автор: Васильев Н.Б.

При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?

Прислать комментарий

Решение

Задача 35569

Темы:	[	Шестиугольники	]
Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 172]