Страница:
<< 26 27 28 29
30 31 32 >> [Всего задач: 191]
Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном
порядке. Расстановка называется плохой, если в
ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих
в
порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими.
Докажите,
что количество хороших расстановок не превосходит 81
n.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с такой же суммой цифр?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Назовём рассадку $N$ кузнечиков на прямой в различные её точки $k$-
удачной, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в $k$ раз. При каких $N\geqslant2$ существует рассадка, являющаяся $k$-удачной сразу для всех натуральных $k$? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)
|
|
|
Сложность: 2
Классы: 7,8,9
|
Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2
n – 1) =
n2.
Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют
арифметическую прогрессию с разностью π/7. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A1, B1, C1 находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A1, B1, C1 также образуют арифметическую
прогрессию. Найдите её разность.
Страница:
<< 26 27 28 29
30 31 32 >> [Всего задач: 191]
Фильтр
Решение 
