ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Комбинаторная геометрия >> Системы точек и отрезков >> Центр масс
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  ($ \alpha^{-1}_{}$ : $ \beta^{-1}_{}$ : $ \gamma^{-1}_{}$) изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  (a2/$ \alpha$ : b2/$ \beta$ : c2/$ \gamma$) изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.

   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 79]      

  с решениями  

Задача 57777

Тема:   [ Центр масс (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K и L так, что BK : KC = CL : LD. Докажите, что центр масс треугольника AKL лежит на диагонали BD.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57787

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  ($ \alpha^{-1}_{}$ : $ \beta^{-1}_{}$ : $ \gamma^{-1}_{}$) изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  (a2/$ \alpha$ : b2/$ \beta$ : c2/$ \gamma$) изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57788

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Две прямые заданы в барицентрических координатах уравнениями a1$ \alpha$ + b1$ \beta$ + c1$ \gamma$ = 0 и a2$ \alpha$ + b2$ \beta$ + c2$ \gamma$ = 0.
а) Докажите, что точка пересечения этих прямых имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right.$$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right)$.


б) Докажите, что эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ = 0.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57797

Тема:   [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что $ \angle$ABP = $ \angle$CBQ. Отрезки AQ и CP пересекаются в точке E. Докажите, что $ \angle$ABE = $ \angle$CBD.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57800

Тема:   [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Найдите уравнения в трилинейных координатах для: а) описанной окружности; б) вписанной окружности; в) вневписанной окружности.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 79]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .