ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное:  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.)  Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 79]      



Задача 60764

Темы:   [ Функция Эйлера ]
[ Формула включения-исключения ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть    Докажите равенство   φ(n) = n(1 – 1/p1)...(1 – 1/ps).
  а) пользуясь мультипликативностью функции Эйлера;
  б) пользуясь формулой включения-исключения.
Определение функции Эйлера φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60775

 [Тождество Гаусса]
Тема:   [ Функция Эйлера ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите тождество Гаусса  φ(d ) = n. Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66168

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Изначально на доске написано натуральное число N. В любой момент Миша может выбрать число  a > 1  на доске, стереть его и дописать все натуральные делители a, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано N² чисел. При каких N это могло случиться?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66614

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\frac{a}{x}$, что в первой координатной четверти (x>0, y>0) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?
Прислать комментарий     Решение


Задача 73758

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное:  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.)  Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 79]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .