Каталог по темам

Задачи

Страница: << 80 81 82 83 84 85 86 >> [Всего задач: 694]

Задача 35077

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Последовательность f(n) (n=1,2,...), состоящая из натуральных чисел, такова, что f(f(n))=f(n+1)+f(n) для всех натуральных n. Докажите, что все члены этой последовательности различны.

Прислать комментарий Решение

Задача 110192

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Подлипский О.К.

В средней клетке полоски 1×2005 стоит фишка. Два игрока по очереди сдвигают ее: сначала первый игрок передвигает фишку на одну клетку в любую сторону, затем второй передвигает ее на 2 клетки, 1-й – на 4 клетки, 2-й – на 8 и т.д. (k-й сдвиг происходит на 2^k-1 клеток). Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Кто может выиграть независимо от игры соперника?

Прислать комментарий Решение

Задача 60582

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Вычислите сумму:

Прислать комментарий

Решение

Задача 60859

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел:
а) ${\dfrac{1}{\sqrt1+\sqrt2}}$ + ${\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}}$ +...+ ${\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}$ ;
б) ${\dfrac{\sqrt2+\sqrt{3/2}}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}}$ + ${\dfrac{\sqrt2-\sqrt{3/2}}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}}$ ;
в) $\sqrt{\vert 40\sqrt2-57\vert}$ - $\sqrt{40\sqrt2+57}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 78714

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 80 81 82 83 84 85 86 >> [Всего задач: 694]