Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство  P(x) > x.  Определим последовательность {b_n} следующим образом:  b₁ = 1,  b_k+1 = P(b_k)  для  k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что  P(x) = x + 1.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61020

Темы:   [ Производная и кратные корни ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Постройте многочлен R(x) из задачи 61019, если:
  а)  P(x) = x⁶ – 6x⁴ – 4x³ + 9x² + 12x + 4;
  б)  P(x) = x⁵ + x⁴ – 2x³ – 2x² + x + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98055

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что при любом натуральном n найдётся ненулевой многочлен P(x) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2ⁿ, который делится на
(x – 1)ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60978

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Найдите остаток R(x) от деления многочлена  xⁿ + x + 2  на  x² – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60989  [Алгоритм Евклида для многочленов]

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором  s ≥ 1  существуют такие многочлены  A₀(x), A₁(x), ..., A_s(x)  и  R₁(x), ..., R_s(x),  что  degQ(x) > degR₁(x) > degR₂(x) > ... > degR_s(x) ≥ 0,
    P(x) = Q(x)A₀(x) + R₁(x),
    Q(x) = R₁(x)A₁(x) + R₂(x),
    R₁(x) = R₂(x)A₂(x) + R₃(x),
      ...
    R_s–2(x) = R_s–1(x)A_s–1(x) + R_s(x),
    R_s–1(x) = R_s(x)A_s(x)
и  (P(x), Q(x)) = R_s(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79345

Темы:   [ Рекуррентные соотношения ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство  P(x) > x.  Определим последовательность {b_n} следующим образом:  b₁ = 1,  b_k+1 = P(b_k)  для  k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что  P(x) = x + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями