Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]

Задача 57727

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Внутри выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n взята точка O так, что $\overrightarrow{OA_1}$ +...+ $\overrightarrow{OA_n}$ = $\overrightarrow{0}$ . Пусть d = OA₁ +...+ OA_n. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n² - 1) при n нечетном.

Прислать комментарий Решение

Задача 57728

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $\pi$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57729

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.

Прислать комментарий Решение

Задача 98005

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Метод усреднения	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Произволов В.В.

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110807

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Метод усреднения	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]