Страница: << 72 73 74 75 76 77 78 >> [Всего задач: 418]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109720

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110922

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Играют двое. В начале игры есть одна палочка. Первый игрок ломает эту палочку на две части. И так игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один или несколько отдельных треугольников (каждый – ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111851

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111898

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Деление с остатком ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8,9,10

  а) Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну в эти два сундука. Еще он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них монеты таким образом, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга так и не узнал, можно ли разложить все монеты поровну по всем шести сундукам. Можно ли, не заглядывая в заветные сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?
  б) А если сундуков было восемь, а Скупой рыцарь мог разложить поровну монеты, лежащие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сундуках?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111902

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8,9

Скупой рыцарь хранит золотые монеты в 77 сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну по этим двум сундукам. Потом он заметил, что если открыть любые 3, или любые 4, ..., или любые 76 сундуков, то тоже можно так переложить лежащие в них монеты, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга не успел проверить, можно ли разложить все монеты поровну по всем 77 сундукам. Можно ли, не заглядывая в сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 72 73 74 75 76 77 78 >> [Всего задач: 418]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями