Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 2440]      

Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа  n = ,  а σ(n)  – их сумма. Докажите равенства:
  а)  τ(n) = (α₁ + 1)...(α_s + 1);   б)  σ(n) = ·...·.

Прислать комментарий

Решение

Докажите мультипликативность функций τ(n) и σ(n).

Прислать комментарий

Решение

Пусть  (m, n) > 1.  Что больше  τ(mn)  или  τ(m)τ(n)?  Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n).

Прислать комментарий

Решение

  Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если  σ(m) – m = n  и  σ(n) – n = m.
  Докажите, что если все три числа  p = 3·2^k–1 – 1,  q = 3·2^k – 1  и  r = 9·2^2k–1 – 1  – простые, то числа  m = 2^kpq  и  n = 2^kr  – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при  m ≥ 2  встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F_5n+2  (n ≥ 0)  содержит в своей десятичной записи не менее  n + 1  цифры.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 2440]