Каталог по темам

Задачи

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 157]

Задача 65379

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Яковлев И.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁ и отмечены точки A₂, B₂, C₂, в которых вневписанные окружности касаются сторон BC, CA, AB соответственно. Прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника. Докажите, что точка A₁ лежит на описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97896

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Дубровский В.Н.

На стороне AB квадрата ABCD взята точка K, на стороне CD – точка L, на отрезке KL – точка M. Докажите, что вторая (отличная от M) точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AKM и MLC, лежит на диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110211

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111879

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Удвоение медианы	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Емельянов Л.А.

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65756

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Кунгожин М.

Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 157]