Задача 101875

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через точку L, взятую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны AB и CD соответственно в точках K и G, а стороны BC и AD соответственно в точках F и M. Докажите, что прямые BM, KD и CL пересекаются в одной точке.

Подсказка

Воспользуйтесь задачей 101874.

Решение

Пусть прямые BM и KD пересекаются в точке N. Проведём через точку N прямые, параллельные сторонам исходного параллелограмма. Пусть прямая, параллельная AB, пересекает стороны BC и AD соответственно в точках P и Q, а вторая прямая – стороны AB и CD соответственно в точках R и S, H – точка пересечения отрезков KG и PQ, E – точка пересечения отрезков RS и MF. Поскольку точка N лежит на диагонали BM параллелограмма ABFM и на диагонали KD параллелограмма AKGD, то  S_ARNQ = S_NPFE  и   S_ARNQ = S_NHGS  (см. задачу 101874). Значит,  S_NPFE = S_NHGS,  поэтому параллелограммы HPFL и ELGS равновелики. Согласно задаче 101874 точка L лежит на диагонали CN параллелограмма NPCS, то есть прямая CL проходит через точку N.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3221