Информация о задаче

Задача 102319

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите или опровергните следующее утверждение: круг площадью ${\frac{25}{8}}$ можно поместить внутрь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.

Подсказка

Если r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, то r = ${\frac{a+b-c}{2}}$ . Воспользуйтесь также неравенством $\pi$ < 3, 15

Решение

Поскольку 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², то треугольник — прямоугольный. Пусть r — радиус окружности, вписанной в данный треугольник, R — радиус данного круга, S — его площадь. Тогда r = ${\frac{3+4-5}{2}}$ = 1, а т.к S = $\pi$ R², то R = $\sqrt{\frac{S}{\pi}}$ = ${\frac{5}{2\pi \sqrt{2}}}$ . Поскольку $\pi$ > 3, 14 и $\sqrt{2}$ > 1, 4, то

2 $\displaystyle \pi$ $\displaystyle \sqrt{2}$ > 2^.3, 14^.1, 4 = 6, 392 > 5,

поэтому

R = $\displaystyle {\frac{5}{2\pi \sqrt{2}}}$ < 1 = r

Следовательно, данный круг можно поместить в треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Ответ

Утверждение верно.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3746