Информация о задаче

Задача 102403

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На прямой взяты три различные точки L, M и N (M между L и N, LN $\ne$ MN). На отрезках LM, MN и LN как на диаметрах построены полуокружности, середины которых — соответственно точки A, B и C. Точка C лежит по одну сторону, а точки A и B — по другую сторону от прямой LN. Найдите отношение площади фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, к площади треугольника ABC.

Подсказка

Пусть E и F — проекции центров полуокружностей с диаметрами LM = 2r и MN = 2R на касательную к полуокружности с диаметром LN, проведённую через точку C, P — проекция точки B на прямую AE. Тогда площадь треугольника равна разности площадей прямоугольника PEFB и трёх прямоугольных треугольников.

Решение

Пусть O₁, O₂ и O — центры окружностей с диаметрами LM, MN и LN соответственно, r и R — радиусы соответственно первой и второй окружностей. Тогда радиус окружности с центром O равен r + R. Известно, что r $\ne$ R. Предположим, что r < R.

Указанная в условии фигура состоит из полуокружностей радиусов r, R и R + r. Если S — её площадь, то

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \pi$ r² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \pi$ R² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \pi$ (r + R)² = $\displaystyle \pi$ (R² + rR + r²).

Пусть E и F — проекции точек соответственно O₁ и O₂ на касательную к полуокружности с центром O, проведённую через точку C. Поскольку точки A и B — середины соответствующих полуокружностей, то точки A, O₁ и E лежат на одной прямой и точки B, O₂ и F также лежат на одной прямой.

Пусть P — проекция точки B на прямую AE. Поскольку O₁A = r < R = O₂B, то точка A лежит между точками O₁ и P, причём O₁P = R - r.

Заметим, что площадь треугольника ABC равна площади прямоугольника PEFB без площадей трёх прямоугольных треугольников O₁PO₂, BEO₁ и BFO₂. Поскольку

CE = OO₁ = R, CF = OO₂ = r, EF = r + R, BF = 2R + r, AE = 2r + R,

то

S_PEFB = EF^.FB = (r + R)(2R + r), S_APB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.PB^.PA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (R + r)(R - r),

S_AEC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.CE^.EA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R(2r + R), S_BFC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.CF^.FB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ r(2R + r).

Следовательно,

S_ABC = (r + R)(2R + r) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ((R + r)(R - r) + R(2r + R) + r(2R + r)) = R² + rR + r².

Значит,

$\displaystyle {\frac{S}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi(R^{2}+Rr+r^{2})}{R^{2}+rR+r^{2}}}$ = $\displaystyle \pi$ .

Ответ

$\pi$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3823