Задача 102459

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Пятиугольники ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно,  ∠A = 35°,  ∠D = 145°,  а площадь треугольника BCE равна 11. Найдите площадь пятиугольника ABCDE.

Решение

  Заметим, что углы BCE и CBE – острые (как половины внутренних углов выпуклого многоугольника). Поскольку углы при общей вершине C треугольников CDE и CBE равны, а   ∠CDE > ∠CBE  (один – тупой, второй – острый), то  ∠CED < ∠CEB.  Поэтому если от луча EC в полуплоскость, содержащую точку B, отложить луч под углом, равным углу CED, то отложенный луч будет лежать между сторонами угла CEB, а значит, будет пересекать отрезок BC в некоторой точке M.
  Треугольники CME и CDE равны по общей стороне EM и двум прилежащим к ней углам, а так как  ∠BME = 180° – ∠CME = 180° – 145° = 35° = ∠BAE,  то равны также треугольники BME и BAE.
  Следовательно,  S_ABCDE = 2S_BCE = 22.

Ответ

22.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3882