Информация о задаче

Задача 102511

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромб, одна из диагоналей которого равна 10 см, вписан круг радиуса 3 см. Вычислите площадь части ромба, расположенной вне круга. Будет ли эта площадь больше 9 см² ? (Ответ обосновать.)

Подсказка

Диагонали разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Решение

Пусть вписанная в ромб ABCD окружность с центром O радиуса r = 3 касается стороны AB в точке M, а диагональ AC = 10. Тогда OM — высота прямоугольного треугольника AOB, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

AM = $\displaystyle \sqrt{AO^{2}-OM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{25-9}$ = 4, AB = $\displaystyle {\frac{AO^{2}}{AM}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{4}}$ .

Тогда

S_ABCD = 4^.S_AOB = 4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.OM = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{4}}$ ^.3 = $\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$ .

Пусть S₁ — площадь круга, S — искомая часть площади ромба. Тогда

S = S_ABCD - S₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$ - $\displaystyle \pi$ r² = $\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$ - 9 $\displaystyle \pi$ .

Поскольку $\pi$ < 3, 15, то 9 $\pi$ < 28, 35. Следовательно,

$\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$ - 9 $\displaystyle \pi$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$ - 28, 35 = 37, 5 - 28, 35 = 9, 15 > 9.

Ответ

${\frac{75}{2}}$ - 9 $\pi$ > 9.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3934