Информация о задаче

Задача 102518

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Касательная, проведенная через вершину C вписанного в окружность треугольника ABC, пересекает продолжение стороны AB за вершину B в точке D. Известно, что радиус окружности равен 2, AC = $\sqrt{12}$ и $\angle$ CDA + $\angle$ ACB = 2 $\angle$ BAC. Найдите секущую AD.

Подсказка

Из теоремы синусов следует, что $\angle$ ABC = 60^o или $\angle$ ABC = 120^o. Применив теорему об угле между касательной и хордой, докажите, что $\angle$ BAC = 45^o. Далее найдите остальные углы треугольника ADC и воспользуйтесь теоремой синусов.

Решение

Обозначим $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ ABC = $\beta$ , $\angle$ ACB = $\gamma$ , $\angle$ CDA = $\varphi$ . Пусть R = $\sqrt{12}$ = 2 $\sqrt{3}$ — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда

sin $\displaystyle \beta$ = sin $\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle {\frac{AC}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Поэтому $\beta$ = 60^o или $\beta$ = 120^o.

По теореме об угле между касательной и хордой $\angle$ BCD = $\angle$ BAC = $\alpha$ . По условию задачи $\gamma$ = 2 $\alpha$ - $\varphi$ , а т.к. по теореме о внешнем угле треугольника $\beta$ = $\varphi$ + $\alpha$ , то, подставив выражения для $\gamma$ и $\beta$ в равенство $\beta$ + $\gamma$ + $\alpha$ = 180^o, получим уравнение относительно $\alpha$ : 4 $\alpha$ = 180^o, откуда найдём, что $\alpha$ = 45^o.

Если $\beta$ = 60^o, то

$\displaystyle \varphi$ = $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ = 60^o - 45^o = 15^o, $\displaystyle \gamma$ = 75^o, $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ = 120^o.

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{AD}{\sin \angle ACD}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \angle ADC}}$ , или $\displaystyle {\frac{AD}{\sin 120^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}}{\sin 15^{\circ}}}$ .

Следовательно,

AD = $\displaystyle {\frac{2\sqrt{3}}{\sin 15^{\circ}}}$ ^.sin 120^o = $\displaystyle {\frac{3}{\sin 15^{\circ}}}$ .

Если $\beta$ = 120^o, то аналогично найдём, что AD = ${\frac{3}{\sin 75^{\circ}}}$ .

Ответ

AD = ${\frac{3}{\sin 15^{\circ}}}$ или AD = ${\frac{3}{\sin 75^{\circ}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3942