Информация о задаче

Задача 102696

Темы:	[	Перегруппировка площадей	]
Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки A, находящейся вне окружности с центром O, проведены две касательные AB и AC (B и C — точки касания). Отрезок AO пересекается с окружностью в точке D и с отрезком BC в точке F. Прямая BD пересекает отрезок AC в точке E. Известно, что площадь четырёхугольника DECF равна площади треугольника ABD. Найдите угол OCB.

Подсказка

Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.

Решение

Поскольку точки A и O равноудалены от концов отрезка BC, то AO — серединный перпендикуляр к хорде BC. Отсюда следует, что AF — медиана треугольника BAC. Тогда

S_ABF = S_ACF $\displaystyle \Rightarrow$ S_ADB + S_BDF = S_ADE + S_DECF $\displaystyle \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow$ S_BDF = S_ADE $\displaystyle \Rightarrow$ S_ADE + S_ADB = S_BDF + S_DECF $\displaystyle \Rightarrow$ S_ABE = S_BCE.

Следовательно, BE — также медиана треугольника ABC.

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle \angle$ BCD = $\displaystyle \angle$ CBD.

Поэтому BE — биссектриса треугольника ABC.

Таким образом, медиана BE треугольника ABC является его биссектрисой. Значит, треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC, а т.к. AB = AC, то треугольник ABC — равносторонний. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ OCB = $\displaystyle \angle$ OAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAC = 30^o.

Ответ

30^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4135